Ejercicios de la olimpiada matemática

Otros con solución

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1.Un control de bolas: A una etnpresa le encargaron IO juegos de bolas nutneraclas del 0 al 9. El peso de cada bola debía ser de gramos. 

Al hacer el control se connprobó que las bolas de un deternninaclo número pesaban 10 gratnos Inenos. 

¿Córno averiguaría, de una sola pesada, cuáles son las bolas defectuosas? 

1. 2. El mayor toca el piano: Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel pregunta: 

¿Cuántos hijos tienes? 

ARITORO: Tres hijos. 

DANIEI.: ¿Qué edades tienen? 

AR'ITJRO: Tú mistno lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. 

Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos 

ARTURO: En efecto, la suma de sus edades es igual al nútuero de la casa que tenernos enfrente. 

Daniel tuira el número de la casa que le indica Arturo y se queda pensativo durante un par de minutos. 

—i No es posible !— responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más. 

ARTURO: Perdona, Daniel, olvidé decirte que mi hijo tuayor toca el piano. 

DANIEI,: En ese caso, ya sé sus edades. 

¿Qué edades tienen los hijos de Arturo? 

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3. El lobo, la cabra y el repollo: Un hombre tiene que cruzar un río llevando consigo un lobo, una cabra y un repollo. Su bote tiene capacidad solatnente para el hombre ruás una de las tres cosas, el lobo, la cabra o el repollo. Si se lleva al lobo, la cabra se comerá al repollo. Si se lleva al repollo, el lobo se cornerá a la cabra. Sólo cuando el honlbre está presente, la cabra y el repollo están a salvo. A pesar de todo, el 110111bre consigue transportarlos al otro lado del río. ¿Cótno? (Larry E. Wood: Estrategias de pensamiento). 

8. Los tres hernranos y cl pozo: 
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Tres hermanos han heredado un campo cuadrado que se divide como indica la figura pues en A existe un pozo que todos quieren usar. ¿Dónde deben estar M y N para que las tres superficies ABM, AMCN y AND tengan igual área? 

(Mariano Mataix: Ludopatía matemática). 

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11. Merienda entre amigos: Tres amigos se encuentran en el parque y deciden merendar juntos. Antonio pone 2 bocadillos, Carmen 3 bocadillos y Luisa corno no lleva comida pone 500 ptas. ¿Cómo se han de repartir el dinero? 

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11. Contando cuadrados: ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez? 
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14. Silencio, por favor: Nuestra bibliotecaria local ha estado muy ocupada. El lunes catalogó solamente algunos de los nuevos libros recibidos. El martes recibió tantos libros nuevos como no había catalogado el lunes, y catalogó diez. El miercoles recibió doce más que el lunes, y catalogó tantos como ese día. El jueves recibió el triple de los libros que había catalogado el miércoles y catalogó ocho. El viernes llegaron seis libros y pudo catalogar doce menos de los que había recibido el miércoles. El sábado pudo catalogar los diecisesis libros que le quedaban porque la biblioteca estaba cerrada. ¿Cuántos libros llegaron el lunes? (lúlrry E. Wood: Estrategicts de Pensamiento). 

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13. Cuatro espías y una rubia (Original de Pierre Berloquin): Cuatro espías se hallan en un bar de una isla del Caribe en compañía de una rubia. El primero de aquellos expone a la mujer las reglas del juego del cricket (juego inglés), con idea de interesarla y conquistarla. Ella, sin embargo, parece más atenta y sensible a la charla del segundo espía, que prueba suerte alaIyando su nuevo coche deportivo. De hecho sólo el tercero escucha al primero, ya que no sabe nada del citado juego. Y esta atención no le agrada al cuarto espía, que trata de vender al tercero un coche de su propiedad equipado con los últimos adelantos. 

El problema estriba en averiguar la nacionalidad de cada uno de los espías, sabiendo que hay un ruso, un inglés, un americano y un alemán. 

Conviene saber que los espias ingleses no se desplazan más que en taxi, que todos los espías rusos y americanos han estudiado en Oxford (universidad inglesa) y que los espías rusos detestan a las rubias. (F. Florensa y R. Remarínez: Pasatiempos y entretenimientos). 

5. El posadero desconfiado y la cadena de plata: Un carninante llega a una posada y se dirige al posadero en estos términos: 

 ¿Me darías alojanniento por una sernana a carnbio de esta cadena de plata? 

El posadero examina la cadena, que tiene siete eslabones. Considerando que un eslabón por día es pago suficiente, responde: 

—- De acuerdo, pero me has de pagar por adelantado. 

El caminante, ofendido por la desconfianza del posadero, replica: 

 Ni hablar. Si tú no te fías de que yo te vaya a pagar, ¿por qué me habría de fiar yo de que, una vez hayas cobrado, me trataras de fortna satisfactoria? 

Como ninguno de os dos da su brazo a torcer, al final acuerdan que el caminante, en vez de pagar de una sola vez, al principio o al final, lo hará día a día. Se impone, por tanto, romper la cadena. 

¿Cuál es el mínimo número de eslabones que tendrá que abrir el caminante para dar uno diario al posadero? Explica la forma de pago. (Carlo Frabetti:. Juegos de ingenio). 

6. Un décimo de lotería: 

— No compréis lotería esta semana. El gordo está aquí —comentó Roberto palpándose el décimo que había adquirido. 

— ¿Qué número te han dado? —preguntó Jaime. 

— El día del sorteo, cuando canten el gordo, lo sabrás. Ahora te puedo adelantar que es un número de cuatro cifras. Y cotilo me disgusta ser misterioso, añadiré que la cifra de las unidades de millar es el triple que la de las unidades; la de las centenas, la cuarta parte que la de las decenas y, finalmente, has de saber que la suma de la primera y la última es igual al doble de la cifra de las decenas. 

— No me extraña —apuntilló Jaime— que en tu pueblo te llatnen sel diáfano». 

¿Qué número guarda Roberto tan celosamente? Cuando Io  ya sabes: a por él. 

Tinta de imprenta: Para nutnerar las páginas de un libro grande hacen falta 2989 dígitos. 

¿Cuántas páginas tiene el libro? (Larry E. Wood: Estrategias de pensamienlo). 

24. Cortando un cubo: Si de un cubo cualquiera, alrededor de un vértice marcamos los tres puntos medios de las aristas concurrentes, y cortamos por el triángulo así formado, ¿qué fracción del cubo inicial hemos eliminado? 

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31. Multiplicaciones con los nueve digitos: Disponemos de las nueve cifras significativas: 1 2 3 'í 5 6 7 8 9. 

Se trata de distribuirlas para formar dos multiplicaciones: 

 una con un factor de tres cifras y el otro de dos 

 

 la otra con los dos factores de dos cifras cada uno: 

 

La condición es que las dos multiplicaciones tengan el mismo resultado y que estén utilizadas las nueve cifras entre las dos multiplicaciones. 

Hay varias soluciones, intenta encontrar la de mayor resultado posible. (Consejo: utiliza la calculadora). 

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31. La televisión: El tamaño de los televisores, como ya sabes, se mide en pulgadas. Así, cuando decimos que un televisor tiene 20 pulgadas, queremos decir que la pantalla, que es rectangular, tiene 20 pulgadas de diagonal. Además, las dimensiones de la pantalla no son cualesquiera, sino que están en la relación de 3 a 4, es decir que el cociente de los lados es 3/4. 

¿Qué dimensiones, en centímetros, tendrá un televisor de 20 pulgadas? 

1 pulgada = 2,54 cm 

 

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33. Rouleaux: Calcular el área y el perínjetro de la jigura sojiibreatja, 
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32. Pan con pan: Pedro, Felipe y Juan son tres anjigos dispuestos a salir excursión. Cuentan para la Inerienda con (lijeso y veintiún panecjlj( h, Cuando ya han preparado siete bocadillos, advierten que si siguen pt do igual cantidad de queso en los restantes panes, éste no a 'a ll'/,ajii, Reducen pues a la rnitad la ración de queso en cada bocadillo, No 01 el queso se terrnina cuando aún quedan siete panecillos vaci( No ni desrnontan ninguno de los panes (ni los de ración entera de queso, ni los de media ración, ni los que no llevan queso), a pesar Io rep;illcn la merienda, y a cada uno le toca igual cantidad de y panecillos. ¿Cónl() Io hacen? (V Olijnpi',lda Naci( mal de Matenjíiticas), 

33. Bolas de billar: 

 

Suponiendo que todas las bolas de bill',ll' tienen igual radio de 2 ¿(Álál es valor de la distancia c/? 

34. Geoplano: Si el cuadrado tiene área ¿Cuál es el área del triángulo? 

(II Olimpiada Matemática para E.G.B„ Madrid), 

 

Infortnes: Anseltno l,estillo ha sido tnuy perezoso todo el tritnestre y eso le Ira hecho obtener una nota tuuy pobre en el exatnen, 

Benita Tequieta es una alutnna muy capaz, cotno tnuestra claranjente la nota del exatnen, peto su concentración y conducta en clase son tnuy pobres. 

Doroteo Doto ha trabajado razonabletnente bien en el tritnestre y ha conseguido un resultado satisfactorio en el exannen. 

Cecilia Telanranta ha trabajado bien y tuerece ese nvaravilloso resultado en el e,xatnen. 

Cada uno de estos cuatro infortues están representados en el siguiente gráfico mediante un *. ¿Qué asignas a cada nútnero? Elabora tú un infortue para el punto que sobra. siennpre razona tus respuestas. (III Concurso de Probletnas de ingenio TI-IAI„ES). 

 

Nota del exatnen 

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39. Campeonato de bolos: Veinticinco personas forman parte de un catnpeonato de bolos. La pritnera hizo x puntos, la segunda y puntos, la tercera consiguió la media aritmética de los dos primeros y cada una de las restantes sacó tantos puntos corno la media aritmética de todos los cotnpetidores anteriores a ella. ¿Cuántos puntos hizo el últinno de los veinticinco competidores? (II Olimpiada Matemática para E.G.B.. Madrid). 

37. El club de chicos: Las edades de los 10 chicos del Club Tagaste van de a 13 años, y cada uno tiene una edad diferente. Cada dos chicos pertenecen a una familia distinta. La suma de las edades de cada par de hertnanos son : IO, 13, 17, 22 y 23 años. ¿Cuántos años tiene el hermano del chico que tiene 7 años? (II Olimpiada Matemática para E.G.B.. Madrid). 

Se alejan los satelites: Por un extraño fenómeno natural, todos los satélites de la Tierra, tanto los artificiales, conno la Luna, alargan su órbita 1.000 kilómetros. ¿Cuál de ellos se habrá separado más de la Tierra? 

39. Escribir el 100 con los nueve digitos: En este ejercicio se trata de que utilizando los nueve digitos significativos escritos en orden ascendente, intercales signos de sutuar o restar para que el resultado de las operaciones sea 100. 

Por ejemplo: 123 - - 67 + 89 = 100. (CPR n.0 1 de Zaragoza: Tratamiento de las matepnáticas en Educctción pripnaricl). 

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42. iCuidado y piensalo bien!: Para abrir la puerta del del laboratorio que contiene la fórmula del producto secreto hay que pulsar los cuatro botones en un orden determinado. Si no se hace en el orden correcto la fórmula se destruiría. 

 

Al encargado de abrir la puerta le han dado las siguientes instrucciones: los números colocados sobre los botones son todos incorrectos; el primer y último en pulsar están separados y el último no está en un extremo. Ayuda al encargado de abrir la puerta para que pulse los botones en el orden correcto. 

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44. Romanos: El romano Brutus Pompeio, haciendo honor a su nombre, golpeó con su cartera de mano en la cabeza del galo Melasdentodix. Aunque la cabeza del galo no sufrió demasiado, no ocurrió lo mismo con la tablilla que llevaba dentro de la cartera y en la cual había ecrito una suma de la que estaba muy orgulloso. Al abrir la cartera vio su tablilla rota en siete pedazos tal como muestra la figura. 

= X

1

VI

XII

+

v XI  

¿Podrías recomponerla de tal manera que la suma resulte bien? 

42. El repartidor de pizzas: Moncho tiene que repartir una pizza en cada uno de los pisos de un edificio de 11 plantas. Al tomar el ascensor se encuentra con un letrero que dice 

EL ASCENSOR NO PUEDE SUBIR MAS QUE 2, 3, 5 u 11 PISOS A LA VEZ Y NO PUEDE DESCENDER 

MAS QUE TRAMOS DE 4 PISOS 

iBien! Esto lo resuelvo yo en un periquete y así lo hizo. ¿Qué itinerario siguió Moncho para llegar al piso 11 tras detenerse una vez y sólo una en cada piso? 

48. Puntualidad: La puntualidad consiste cn llegar justo a la hora, no en 11cgar antes, 

Una empresa de transportes debe llevar de excursión al Monasterio de Piedra a los alumnos de un Colegio, el Director que es muy puntilloso Ic dice al conductor que quiere llegar al Monasterio a las siete en punto. Luis, que es cl conductor sabe que si lleva una velocidad media de 60 km/h llegará a las seis y que si la velocidad media es de 40 km/h se retrasará hasta las ocho. 

¿A qué velocidad debería circular? ¿A qué distancia está el Colegio del Monasterio? 

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51. Tangentes, un problema de Geometría: Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a ella. Los segmentos de tangente YC y XC son claramente iguales y mide IO cm cada uno de ellos. 

Ahora por un punto P cualquiera del arco X Y se traza una tangente más, con lo que se forma el triángulo ABC. 

 

¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC? 

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54. El diamante: Calcula el área y el perímetro de la zona sombreada sabiendo que el lado del rombo (diamante) es igual a la diagonal menor y los radios de los arcos de circunferencia equivalen a la mitad del lado del rombo. 1,— 6 cm 

 

(Matemáticas. Materiales didácticos, Gobierno cle Navarra). 

55. Botellas y depositos: Te presentamos 6 frascos y 9 gráficas. Las gráficas representan la altura que va alcanzando el líquido en el frasco conforme éste se va llenando. Elige la gráfica, que en tu opinión, mejor se acomoda a cada frasco. 

Frasco de tinto    Pozal

Frasco cónico    Vaso

Frasco de avaporación    Embudo taponado

Altura  Volumen  Altura  Volumen  Altura  Volumen

Altura  Volumen  Altura  Volumen  Altura   Volumen

c)    Altura  Volumen  f)    Aftura  Volumen  Altura  Volumen

(Matemáticas. Materiales didácticos. Gobierno de Navarra). 

Faltan paréntesis: La expresión siguiente, tal como está escrita da como 

51. resultado 3 y no 12 como se indica: 

2. x 1 + 2 x 3 - 2 x 2 - 1 = 12 

coloca unos cuantos paréntesis para que la respuesta sea correcta. 

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    TRI — Triángulo Rectángulo Isósceles: En un triángulo rectángulo isósceles cuyo 1/3 cateto mide 6 cm, calcular el perímetro y el área de la figura sombreada. 

(Matemáticas. Materiales didácticos. Gobierno de Navarra). 

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56. Túneles: Con cubos ensamblables, podemos construir cubos con túneles que van desde una cara a la cara opuesta. 

1. ¿Cuál es el volumen del cubo con túneles de la figura? 

 

2. ¿Cuál es el siguiente cubo, en tamaño que sea Io más parececido posible al de la figura anterior? ¿Cuál es su volumen? 

(Matemáticas. Materiales didácticos. Gobierno de Navarra), 

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    Angulo inscrito y angulo central; Demuestra que el ángulo ABO es la mitad que el ángulo AOC. 

(Matemáticas. Materiales didácticos. Gobierno de Navarra).